Question

x+y+z=08.设和 (dy)/(dz)\(x+y+z=0x^2+y^2+z^2=1. '求 (

Answer 1

根据题目，可以列出以下方程组：

x+y+z=0
x^2+y^2+z^2=1

为了求出 dy/dz，可以对第一个方程两边同时对 z 求导数，得到：

dx/dz + dy/dz + dz/dz = 0

即：

dy/dz = -dx/dz - 1

接下来，对第二个方程两边同时对 z 求导数，得到：

2x*dx/dz + 2y*dy/dz + 2z*dz/dz = 0

因为 x+y+z=0，所以 dz/dz=-dx/dz-dy/dz，代入上式得到：

2x*dx/dz + 2y*dy/dz - 2z*dx/dz - 2z*dy/dz = 0

整理得到：

(2y-2z)*dy/dz = (2z-2x)*dx/dz

因为 x+y+z=0，所以 z=-x-y，代入上式得到：

(2y+2x)*dy/dz = (-2x-2y)*dx/dz

即：

4y*dy/dz = -4x*dx/dz - 4y*dx/dz

将 dy/dz = -dx/dz - 1 代入上式，得到：

-4y*dx/dz + 4y = -4x*dx/dz

化简得到：

dx/dz = -2y/(y+x)

将 dx/dz 的表达式和 z=-x-y 代入 dy/dz=-dx/dz-1，得到：

dy/dz = (x+y)/(y+x)-1

因此，

(dy/dz)^2 = ((x+y)/(x+y)-(x+y)/(y+x))^2 = (-2x/(x+y))^2 = 4x^2/(x+y)^2

代入 x^2+y^2+z^2=1 得到 z^2=1-2x^2，因此：

(dy/dz)^2 = 4x^2/(x+(z+x))^2 = 4x^2/(z+2x)^2 = 4x^2/(4x^2+z^2) = 4x^2/(5x^2-1)

因此，

dy/dz = ±(2|x|)/sqrt(5x^2-1)

其中 |x|=sqrt(x^2)。

综上所述，dy/dz = ±(2|x|)/sqrt(5x^2-1)。