Question

线性代数中，矩阵的秩怎么证明？

Answer 1

证明如下：

（1）AB中的行向量是A中行向量的线性组合，同时也是A中行向量的极大无关组的线性组合

（2）如果把AB中的所有行向量与A中的极大无关组写成一个n维向量，那么这个极大无关组也是这个n维向量的极大无关组

（3）AB的极大无关组应该小于或者等于A中行向量的极大无关组所包含的向量数量，而极大无关组中向量的数量就是原向量组的秩

（4）B同理可证，结果就是R(AB)≤min{R(A),R(B)}

注意两点：

（1）行秩等于列秩，用列向量做是一样的效果。

（2）线性无关的向量与某一个可以用他们来线性表示的向量组合而成的新的向量组，这个向量组线性相关。

具体证明如下图：

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

（1）引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

（2）定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

（3）定理 初等变换不改变矩阵的秩。

（4）定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料：矩阵的秩_百度百科