Question

已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1

若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围
请告诉我答案及解题过程!!!谢谢!!!

Answer 1

令x=y=1
则xy=1
f（xy）=f（x）+f（y）
所以f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f(x)+f(2-x)<2
f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]
f(1/3)=1
2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/3*1/3)
所以f[x(2-x)]<f(1/3*1/3)
f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/3*1/3
x^2-2x+1/9<0
9x^2-18x+1<0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3
且有定义域x>0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3

Answer 2

f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))=f(2x-x^2)<2=f(1/9)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以2x-x^2>1/9且2x-x^2>0
解得1-(2/3)*2^(1/2)<x<1+(2/3)*2^(1/2)

Answer 3

f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/3*1/3)=f(1/9
f(x)+f(2-x)<2,
f(x)+f(2-x)<f(1/9)
x(x-2)>1/9
x^2-2x-1/9>0,(x-1)^2>10/9
x>1+√10/3或x>1-√10/3
x>0,x-2>0.x>2
所以x>1+√10/3

Answer 4

高1的内容，抽象函数