Question

解答一道奥数题，不要方程，要过程！

甲、乙两数都只有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？

Answer 1

75=5×5×3,所以两个数中相同的质因数只有两个5和一个3,甲有12个约数,乙有10个约数,易知乙=5×5×3×5×5=1875(约数是1、3、5、15、25、75、125、375、625、1875共10个）,甲=5×5×3×3×3=675（约数为1、3、5、9、15、25、27、45、75、135、225、675共12个），所以它们的最小公倍数是：75×5×5×3×3=16875

Answer 2

设数中包含x个5,y个3,即5^x * 3^y=此数

对于约数,共有x+y+xy+1个

其中,x表示只包含5的约数个数,xy表示即有5又有3的约数个数,加1指约数1

对甲,x+y+xy+1=12,所以知,x=2,y=3或x=3,y=2
对乙,x+y+xy+1=10,所以x=1,y=4或x=4,y=1

因为75=5^2 *3,所以甲乙至少要包含2个5,且两个中包含5少的必须只能有2个5

所以,甲为x=2,y=3,乙为x=4,y=1

最小公倍数取两个x,y的大值,即x=4,y=3,值为:

5^4 *3^3==16875

Answer 3

1、设甲为3^m*5^n,乙为3^u*5^v.
2、约数除了1和本身,甲有10个,乙有8个,即:m+n=10,u+v=8.mnuv均为自然数。
3、最大公约数75=3*5^2,则其中之一只有3,另一数中只有5^2，满足条件的情况为：甲=3*5^9,乙=3^6*5^2或甲=3^8*5^2,乙=3*5^7。
4、最小公倍数为：前一个=3^6*5^9,或后一个=3^8*5^7。
完毕。
大概这样吧，本人大学毕业也6年了，有些记不清了．