Question

一道高一数学必修四三角函数的题求解

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π/2）的最小值为-2，且它的图象经过点（0，√3）和（
5π/6，0）
（1）写出一个满足条件的函数解析式f（x）
（2）若函数f（x）在（0，π/8]上单调递增，求此函数所有可能的解析式
（3）若函数f（x）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，求ω的值．

Answer 1

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π/2）的最小值为-2，且它的图象经过点（0，√3）和（5π/6，0）
（1）写出一个满足条件的函数解析式f（x）
（2）若函数f（x）在（0，π/8]上单调递增，求此函数所有可能的解析式
（3）若函数f（x）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，求ω的值．
(1)解析：∵f(x)=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜π/2）的最小值为-2，
∴A=|-2|=2==>f(x)=2sin(ωx+φ)，
又它的图象经过点(0,√3)和(5π/6,0)
f(0)=2sin(φ)=√3==>φ=π/3或φ=2π/3
∵|φ|＜π/2，∴φ=π/3==>f(x)=2sin(ωx+π/3)，
∴f(5π/6)=2sin(ω5π/6+π/3)=0
当点(5π/6,0)为半周期点时，ω5π/6+π/3=π==>ω=4/5
当点(5π/6,0)为整周期点时，ω5π/6+π/3=2π==>ω=2
∴满足条件的函数解析式为f(x)=2sin(4/5x+π/3)或f(x)=2sin(2x+π/3)
(2)解析：设函数f(x)在（0，π/8]上单调递增
∵f(x)=2sin(ωx+π/3)
最大的值点ωx+π/3=π/2==>x=π/(6ω)
令π/(6ω)>=π/8==>0<ω<=4/3
∴函数f(x)在（0，π/8]上单调递增，ω取值范围为ω∈(0,4/3]
∵ω=4/5<4/3满足题意，ω=2>4/3不满足题意
综上：满足题意，且在（0，π/8]上单调递增的函数解析式只有f(x)=2sin(4/5x+π/3)
(3) 解析：设函数f(x)在[0，2]上恰有一个最大值和最小值
∵f(x)=2sin(ωx+π/3)
单调递减区间：
2kπ+π/2<=ωx+π/3<=2kπ+3π/2==>2kπ/ω+π/(6ω)<= x<=2kπ/ω+7π/(6ω)
令7π/(6ω)<=2==>ω>=7π/12
2π/ω+π/(6ω)>2==>13π/6*1/ω>2==>ω<13π/12
∴在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω∈[7π/12,13π/12)
函数f(x)满足题意，且在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω=2

Answer 2

（Ⅰ）由图象知，A=2，T=4×( 5π 12 - π 6 )=π
故ω=2，将点( π 6 ，2)代入f（x）的解析式，得sin( π 3 +φ)=1，又|φ|＜ π 2 ，
所以φ= π 6 ，故f(x)=2sin(2x+ π 6 )…
（Ⅱ）由-π≤x≤- π 2 ，得- 11π 6 ≤2x+ π 6 ≤- 5π 6
即sin(2x+ π 6 )∈[- 1 2 ，1]
所以f（x）的最大值为2，最小值为-1．…
（一）函数的图象：
1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T=，称为这个振动的周期，
单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。
2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。
3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系：
把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（φ＞0）或向右（φ＜0），y=sin（x+φ）
把y=sin（x+φ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，y=sin（ωx+φ）
把y=sin（ωx+φ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，y=Asin（x+φ）
把y=Asin（x+φ）的图象横坐标不变，纵坐标向上（k＞0）或向下（k＜0），y=Asin（x+φ）+K；
若由y=sin（ωx）得到y=sin（ωx+φ）的图象，则向左或向右平移个单位。
（二）函数y=Asin（x+φ）的性质：
1、y=Asin（x+φ）的周期为；
2、y=Asin（x+φ）的的对称轴方程是，对称中心（kπ，0）。

Answer 3

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