Question

证明：若函数f(x)在(-∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)=e^x.

请使用中值定理证明本题。

Answer 1

首先令F(x)=e^(-x)f(x)，则F'(x)=-e^(-x)*f(x)+e^(-x)*f(x)=0

所以，F(x)≡c(c为常数)，取x=0，可以得出c=F(0)=e^0*f(0)，

又因为题目中给出f(0)=1，所以有c=F(0)=e^0*f(0)=1，也即e^(-x)*f(x)=1，所以得证f(x)=e^x。