Question

证明: 若函数f(x) 在（－∞,＋∞） 内连续, 且limf(x) 存在, 则f(x) 必在（－∞,＋∞） 内有界.

Answer 1

由极限的定义知，对任意的ε>0,存在M,使得当|x|>M时，|f(x)-A|<ε (A是极限），则|f(x)|<A+ε
又f(x)在（－∞,＋∞） 内连续，所以在[-M,M]也连续，所以在[-M,M]上也连续，则在[-M,M]上存在一个最大值和一个最小值，则在[-M,M]上有界，即|f(x)|<B, 取N=max{A+ε, B}
所以在（－∞,＋∞）上|f(x)|<N. 即在f(x) 在（－∞,＋∞） 内有界.

Answer 2

反证法：设f（x）在（－∞,＋∞）内无界
因为f(x) 在（－∞,＋∞） 内连续，且f（x）在（－∞,＋∞）内无界，则当x趋于∞时f（x）也趋于∞
则limf(x)不存在
与已知矛盾
所以若函数f(x) 在（－∞,＋∞） 内连续, 且limf(x) 存在, 则f(x) 必在（－∞,＋∞） 内有界.