Question

已知函数f（x）＝x^3+ax^2+bx+c

已知函数f（x）＝x^3+ax^2=bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线L不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线L的距离为十分之根号十，若x=2/3时，y=f（x）有极值Ⅰ：求a，b，c的值Ⅱ：求y=f（x）在【-3，1】上的最小值

Answer 1

解：(I)由f(x)=x^3+ax^2+bx+c
．f'(x)=3x^2+2ax=b得
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①
当x=2/3 时，y=f(x) 有极值，则f'(2/3)=0 ，可得4a+3b+4=0②
由①、②解得 a=2,b=-4．
设切线l的方程为y=3x+m ．
由原点到切线l的距离为sqr10/10 ，
则|m|/sqr(3^2+1)．解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，
∴m=1．
由于l切点的横坐标为x=1，∴ f(1)=4．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5