已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠DAC+∠ACB=180°,求证:AB=DC.

最少四种方法谢谢~... 最少四种方法 谢谢~ 展开
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sh5215125
高粉答主

2014-09-23 · 说的都是干货,快来关注
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【证法1】

延长DA到E,使AD=BC,连接CE

∵∠DAC+∠EAC=180°

   ∠DAC+∠ACB=180°

∴∠EAC+∠ACB

又∵AE=BC,AC=CA

∴△EAC≌△BCA(SAS)

∴AB=CE,∠B=∠E

∵∠B=∠D

∴∠E=∠D

∴CE=DC

∴AB=DC

【证法2】

延长BC到F,使CF=AD,连接AF

∵∠DAC+∠ACB=180°

   ∠ACF+∠ACB=180°

∴∠DAC=∠ACF

又∵AD=CF,AC=CA

∴△DAC≌△FCA(SAS)

∴DC=AF,∠D=∠F

∵∠B=∠D

∴∠B=∠F

∴AB=AF

∴AB=DC

【证法3】

用正弦定理

∵AC/sin∠B=AB/sin∠ACB

  AC/sin∠D=DC/sin∠DAC

∵∠B=∠D,∠ACB+∠DAC=180°

∴sin∠B=sin∠D,sin∠ACB=sin∠DAC

∴AB=DC

【证法4】

在AD上取一点G,使∠AGC=∠DAC

则AC=CG

∵∠DAC+∠ACB=180°

   ∠AGC+∠CGD=180°

∴∠ACB=∠CGD

又∵∠B=∠D

∴△ACB≌△CGD(AAS)

∴AB=DC

【证法5】

在BC的延长线上取一点H,使∠ACH=∠H,连接AH

则AC=AH

∵∠DAC+∠ACB=180°

   ∠ACB+∠ACH=180°

∴∠DAC=∠ACH=∠H

又∵∠B=∠D

∴△DAC≌△BHA(AAS)

∴AB=DC

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