Question

已知函数f(x)=lnx-x,h(x)=lnx/x 若关于x的方程f(x)-x^3+2ex^2-b

已知函数f(x)=lnx-x,h(x)=lnx/x
若关于x的方程f(x)-x^3+2ex^2-bx=0恰有一解，求b

Answer 1

lnx-x^3+2ex^2-(b+1)x=0
bx=lnx-x^3+2ex^2-x
b=lnx/x-x^2+2ex-1
构造函数f(x)=lnx/x-x^2+2ex-1（x>0),
则f'(x)=(1-lnx)/x^2-2x+2e
x=e时，f'(x)=0;
x>e时，f‘(x)<0;
x<e时，f’(x)>0;
所以x=e时f(X)取得极大值,
所以b的最大值为f(e)=e^2+1/e-1
又因为恰有一解，所以b=e^2+1/e-1

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