Question

f(X)=1/3X^3-ax^2+b,在X=2时有极值 求函数的F(x)的单调区间

(1) 求函数的F(x)的单调区间
（2）若函数在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围

Answer 1

（1）首先求出函数的导数，然后f′（2）=0，解出a的值，进而求出导数．分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函数的单调区间；
（2）由于函数f（x）在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0，或者是函数的极小值大于0，解出参数范围即可．

Answer 2

(1)f'(x)=x^2-2ax
f'(2)=4-4a=0，a=1
f'(x)=x^2-2x=x(x-2)
在(-∞,0)和(2,+∞)上增，在(0,2)上减。
（2）f(x)=x^3/3-x^2+b
f(0)=b，f(2)=-4/3+b
所以b<0或-4/3+b>0时仅有一个零点
所以b<0或b>4/3.