Question

已知函数f（x）=log 2 1-x 1+x ．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明

已知函数f（x）=log 2 1-x 1+x ．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

（1）由题意可得 1-x 1+x ＞0，即 x-1 1+x ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，…..2分 解得-1＜x＜1，…..4分 函数的定义域为（-1，1）．  …..5分 （2）函数f（x）为奇函数．…..6分 证明：由第一问得，函数的定义域为（-1，1），…..7分 ∵f（-x）= log 2 1+x 1-x =log 2   ( 1-x 1+x ) -1 =- log 2 1+x 1-x =-f（x），…..9分 所以函数f（x）为奇函数．…..10分 （3）解不等式f（x）＞1，即 log 2 1-x 1+x ＞1=log 2 2，…..11分 从而有 -1＜x＜1 1-x 1+x ＞2 ，…..12分  所以-1＜x＜- 1 3 ，…..14分 不等式f（x）＞1的解集为（-1，- 1 3  ）．…..15分．