Question

如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的

如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接OD、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴DB=DC，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OB=6，
∴CD=6，
在Rt△CDE中，CE=

1

2

CD=3，
∴DE=

3

CE=3

3

．