Question

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1），（1）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；（2）判断f（x）在（0，+

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1），（1）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为103，求此时a的值．

Answer 1

（1）f（-x）=a^-x+a^x=f（x），故函数是偶函数，所以函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（2）单调递增，证明如下
设x₁＜x₂，x∈（0，+∞），则f(x1)?f(x2)＝ax1+a?x1?ax2?a?x2=(ax1?ax2)  (1?

1

ax1ax2

)＜0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知a2+a?2＝

10

3

，解得a＝

3

3

或a＝

3