Question

已知二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx(a、b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．(

已知二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx(a、b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f(x)＝－x 2 ＋2x（2）存在m＝－1，n＝0，满足条件

(1) f(x)＝－x 2 ＋2x. (2)由f(x)＝－x 2 ＋2x＝－(x－1) 2 ＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n≤1，即n≤ ＜1. 故f(x)在[m，n]上为增函数，∴ 解得   ∴存在m＝－1，n＝0，满足条件