Question

设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+m=Sm+qmSn总成立．（Ⅰ

设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+m=Sm+qmSn总成立．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较amm?ahh与ak2k的大小；（Ⅲ）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较a1mm?a1hh与a2kk的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证：因为对任意正整数n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n总成立，
令n=m=1，得S₂=S₁+qS₁，则a₂=qa₁
令m=1，得S_n+1=S₁+qS_n（1），从而S_n+2=S₁+qS_n+1（2），
（2）-（1）得a_n+2=qa_n+1，（n≥1）
综上得a_n+1=qa_n（n≥1），所以数列{a_n}是等比数列
（Ⅱ）正整数m，k，h成等差数列，
则m+h=2k，
所以m2+h2＞

1

2

(m+h)2＝2k2，
则

a

m m

?

a

h h

＝

a

m 1

qm2?m

a

h 1

qh2?h＝

a

2k 1

qm2+h2?m?h
①当q=1时，a_m^m?a_h^h=a₁^2k=a_k^2k
②当q＞1时，

a

m m

?

a

h h

＝

a

2k 1

qm2+h2?m?h＞

a

2k 1

q2k2?2k＝(a1qk?1)2k＝

a

2k k

③当0＜q＜1时，

a

m m

?

a

h h

＝

a

2k 1

qm2+h2?m?h＜

a

2k 1

q2k2?2k＝(a1qk?1)2k＝

a

2k k

（Ⅲ）正整数m，k，h成等比数列，则m?h=k²，则

1

m

+

1

h

＞2

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-11-02 已知数列｛an}的前n项和为Sn，常数入>0,且入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立。 148 2014-07-25 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数． （ 205 2011-01-25 设数列{an}的前n项和为Sn，其中an不等于0，a1为常数，且一a1，Sn，an十1成... 26 2011-07-23 数列an的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立。 2 2011-08-31 正项数列{an}的前n项和为Sn,q为非零常数。已知对任意正整数n,m 6 2012-06-14 已知数列{an}的前n项和为Sn,常数入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立 9 2010-12-05 已知首项为a（a不等于0）的数列｛an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数m,n都有 Sn/Sm=(n/m)^2 3 2010-12-05 已知首项为a的数列｛an｝的前n项和为Sn，若对任意的正整数m,n,都有Sn/Sm=(n/m)^2. 3 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式