Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值，若对?x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，则c的

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值，若对?x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，则c的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
由题意得：

f(? 2 3 )＝0 f(1)＝0

，
解得：

a＝? 1 2 b＝?2

，
f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1），
当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2；
故答案为：（-∞，-1），（2，+∞）．