Question

向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性无关，且可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则以下结论中不能成

向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性无关，且可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则以下结论中不能成立的是 （　　）A．向量组β1，β2，…，βs线性无关B．对任一个αj（1≤j≤s），向量组αj，β2，…，βs线性相关C．向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βs等价

Answer 1

由向量组α₁，α₂，…，α_s，可由向量组β₁，β₂，…，β_s线性表示，得
存在k_ij（i=1，2，…，s；j=1，2，…，s），使得
（α₁，α₂，…，α_s）=（β₁，β₂，…，β_s）（k_ij）_s×s
由矩阵乘法的秩的性质，知
r（AB）≤min{r（A），r（B）}
∴r（α₁，α₂，…，α_s）≤r（β₁，β₂，…，β_s）
而向量组α₁，α₂，…，α_s（s≥2）线性无关，
即r（α₁，α₂，…，α_s）=s
∴r（β₁，β₂，…，β_s）=s
∴向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关，
故A成立；
∴（k_ij）_s×s是可逆的
∴(β1，β2，…，βs)＝(α1，α2，…，αs)(kij)s×s?1
即向量组β₁，β₂，…，β_s也可以由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示
∴向量组α₁，α₂，…，α_s与向量组β₁，β₂，…，β_s等价
故C成立；
而选项B．假设α_i=β_i（i=1，2，…，s），显然满足题目条件，但向量组α₁，β₂，…，β_s线性无关
故B不成立
故选：B．