Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线y 2 = 的焦点．PQ过椭圆

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线y 2 = 的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值；（3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

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Answer 1

解 设椭圆C的方程为 ∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y 2 = 的焦点， ∴a= ∵离心率等于 ， ∴ ，∴c=1∴b=1 ∴椭圆C的方程为 ； （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），直线AB的方程为y=x+t，代入椭圆方程， 消元可得3x 2 +4tx+2t 2 ﹣2=0由△＞0，解得﹣ ＜t＜ 由韦达定理得x 1 +x 2 =﹣ t，x 1 x 2 = ． ∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，∴|PQ|= ∴四边形APBQ的面积S= × ×|x 1 ﹣x 2 |= × ∴t=0时，S max = ； （3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣ =k（x﹣1）， 与椭圆方程联立，消元可得（1+2k 2 ）x 2 +（2 k﹣4k 2 ）x+k 2 ﹣2 k﹣1=0 ∴x 1 +1=﹣ 同理x 2 +1=﹣ ∴x 1 +x 2 = ，x 1 ﹣x 2 =﹣ ∴y 1 ﹣y 2 =k（x 1 +x 2 ）﹣2k= ，x 1 ﹣x 2 =﹣ ∴ ∴直线AB的斜率为定值 ．