Question

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an=b12+b222+b323+…bn2n（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设Tn为数列{nsn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（1）解：设等差数列a_n的公差为d，则依题设d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃?a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）?2=2n-1
（2）令cn＝

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-+1（4分）
两式相减得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），即当n≥2时，b_n=2ⁿ⁺¹
又当n=1时，b₁=2a₁=2
∴bn＝

2   (n＝1) 2n+1(n≥2)

于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹
=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=

2(2n+1?1)

2?1

?4＝2n+2即S_n=2ⁿ⁺²-6（9分）
（3）数列{n?2ⁿ⁺²}的前n项和为T₁=（n-1）?2ⁿ⁺³+8（12分）
数列{6n}的前n项和为T₂=3n²+3n（13分）
所以，数列{n?2ⁿ⁺²-6n}的前n项和为T₁-T₂=（n-1）?2ⁿ⁺³+8-3n²-3n（14分）