(2014?龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA
(2014?龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(...
(2014?龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(OA>OB).(1)求点D的坐标.(2)求直线BC的解析式.(3)在直线BC上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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(1)x2-7x+12=0,
解得x1=3,x2=4,
∵OA>OB,
∴OA=4,OB=3,
过D作DE⊥y于点E,
∵正方形ABCD,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∠DAE+∠OAB=90°,
∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠ABO=∠DAE,
∵DE⊥AE,
∴∠AED=90°=∠AOB,
在△DAE和△ABO中,
,
∴△DAE≌△ABO(AAS),
∴DE=OA=4,AE=OB=3,
∴OE=7,
∴D(4,7);
(2)过点C作CM⊥x轴于点M,
同上可证得△BCM≌△ABO,
∴CM=OB=3,BM=OA=4,
∴OM=7,
∴C(7,3),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),
代入B(3,0),C(7,3)得,
,
解得
,
∴y=
x-
;
(3)存在,如图,
点P与点B重合时,P1(3,0),
点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).
解得x1=3,x2=4,
∵OA>OB,
∴OA=4,OB=3,
过D作DE⊥y于点E,
∵正方形ABCD,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∠DAE+∠OAB=90°,
∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠ABO=∠DAE,
∵DE⊥AE,
∴∠AED=90°=∠AOB,
在△DAE和△ABO中,
|
∴△DAE≌△ABO(AAS),
∴DE=OA=4,AE=OB=3,
∴OE=7,
∴D(4,7);
(2)过点C作CM⊥x轴于点M,
同上可证得△BCM≌△ABO,
∴CM=OB=3,BM=OA=4,
∴OM=7,
∴C(7,3),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),
代入B(3,0),C(7,3)得,
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解得
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∴y=
3 |
4 |
9 |
4 |
(3)存在,如图,
点P与点B重合时,P1(3,0),
点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).
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