Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．（1）求角B的大小，（2）若b=

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．（1）求角B的大小，（2）若b= 3 ，求 BA ? BC 的最小值．

Answer 1

（1）由acosC+ccosA+2bcosB=0及正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0…2分 ∴sin（A+C）+2sinBcosB=0…3分 ∵A，B，C是△ABC的三个内角， ∴sin（A+C）=sinB，…4分 ∴sinB+2sinBcosB=0，…5分 ∵sinB≠0， ∴cosB=- 1 2 ，又0＜B＜π，故B= 2π 3 …6分 （2）由b= 3 及余弦定理得b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=a 2 +c 2 +ac…7分 a 2 +c 2 +ac=3…8分 ∵a 2 +c 2 ≥2ac， ∴3ac≤3， ∴ac≤1，当且仅当a=c=1时取等号…10分 ∴ BA ? BC =| BA |?| BC |cosB=accosB=- 1 2 ac≥- 1 2 …11分 ∴ BA ? BC 的最小值为- 1 2 …12分