Question

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，G是AC中点，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，G是AC中点，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

（I）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，
又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE，
又∵BE=BC，则F为CE的中点，
又G是AC的中点，
∴由中位线定理得，AE∥FG，FG＝

1

2

AE＝1，
由（Ⅰ）得，AE⊥平面BCE
∴FG⊥平面BCE
即FG⊥平面BCF，
又BC⊥平面ABE，∴BC⊥BE，
又AE=EB=BC=2，即有CE=2

2

，
∴Rt△BCE中，BF＝CF＝

1

2

CE＝

2

∴S△CFB＝

1

2

?

2

?

2

＝1
∴VC?BFG＝VG?BCF＝

1

3

?S△CFB?FG＝

1

3

．