Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与右准线相交于点Q，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1，
∴

a2

c

＝4，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b＝

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．（5分）
（2）直线l：y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（7分）
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
xp＝?

4km

3+4k2

＝?

4k

m

，yp＝kxp+m＝?

4k2

m

+m＝

3

m

，即P(?

4k

m

，

3

m

)．（9分）
假设存在点M满足题意，则由椭圆的对称性知，点M应在x轴上，不妨设点M（t，0）．
又Q（4，4k+m），

MP

＝(?

4k

m

?t，

3

m

)，

MQ

＝(4?t，4k+m)，
若以PQ为直径的圆恒过定点M，
则

MP

?

MQ

=(?

4k

m

?t)?（4-t）+

3

m

?(4k+m)=t2?4t+3+

4k

m

(t?1)＝0恒成立，
故

t＝1 t2?4t+3＝0

，即t=1．（13分）
∴存在点M适合题意，点M与右焦点重合，其坐标为（1，0）．