Question

已知函数f（x）=ax 2 +ax-e（a∈R）．（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；（2）若对任意a∈[1，2]

已知函数f（x）=ax 2 +ax-e（a∈R）．（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；（0）设函数g（x）=（a+1）x 2 +2ax+2a-5，是否存在实数a，使右当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的大象始终在f（x）大象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=-4无零点，舍去&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;…（1分） 当a≠0时，有△=a 2 +1人a=0解得&nbs二;a=-1人或a=0（舍去）&nbs二;…（3分） 综合得：a=-1人…（4分） （2）由题意得：因为任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立， 令&nbs二;H（a）=ax 2 +ax-4=（x 2 +x）a-4 所以，本题等价于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立．&nbs二;…（7分） 又H（0）=-4 所以，H（2）=2（x 2 +x）-4≤0即&nbs二;&nbs二;x 2 +x-2≤0， 解得：-2≤x≤1…（10分） （3）令&nbs二;F（x）=图（x）-f（x）=x 2 +ax+2a-1…（12分） 假设存在这样的实数a，则必有F（x）=x 2 +ax+2a-1＞0在区间（-2，-1）上恒成立． 又因为F（x）对称轴方程&nbs二;&nbs二; x=- a 2 ，所以有： ① - a 2 ≤-2 F(-2)=4-2a+2a-1≥0 …（13分） 解得： a≥4 a∈R 所以&nbs二;&nbs二;&nbs二;a≥4 ② - a 2 ≥-1 F(-1)=1-a+2a-1≥0 …（14分） 解得： a≤2 a≥0 所以&nbs二;&nbs二;&nbs二;0≤a≤2 ③ -2＜- a 2 ＜-1 △= a 2 -4(2a-1)＜0 解得： 2＜a＜4 4-2 3 ＜a＜4+2 3 所以&nbs二;&nbs二;2＜a＜4…（1你分） 综合以上得：a≥0 所以，存在这样的实数a，当实数a≥0时，函数图（x）的图象始终在f（x）图象的上方．…（1人分） 备注：解答题其它解题方法酌情给分．