Question

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF∥平面PAD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2

2

，
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，又BE=

1

2

AB＝2，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（II）取PA的中点G，连接FG、DG，
则GF

∥ .

.

1

2

AB

∥ .

.

DC，
∴GF

∥ .

.

DC．…（8分）
∴四边形DCFG为平行四边形，
∴DG∥CF．…（10分）
又DG?平面PAD，CF?平面PAD，
∴CF∥平面PAD．…（12分）