Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）
∵AC⊥PD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．…（3分）
（行团Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC⊥BD．
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩基凳平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC．…（5分）
∵PO⊥平面PAC，∴BD⊥PO．…（7分）
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO．
∴PB=PD．…（8分）
（Ⅲ）解：不存在．下面档锋橘用反证法加以证明．…（9分）
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．
在菱形ABCD中，BC∥AD，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．…（11分）
∵BM∥平面PBC，BC∥平面PBC，BC∩BM=B，
∴平面PBC∥平面PAD．…（13分）
这与平面PBC与平面PAD相交矛盾，故假设不成立．
∴在棱PC上不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．…（14分）