Question

（2013?婺城区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交

（2013?婺城区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为45°，求PD：AD的值．

Answer 1

（I）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD?平面PBD
∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO?平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=

1

2

a，OA=

3

2

a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=

OB

OF

＝

1 2 a

OD

＝1，可得OF=

1

2

a
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA?OE=OF?AE
即

3

2

a?OE=

1

2

a?

3 4 a2+OE2

，解之得OE=

6

4

a
∴PD=2OE=

6

2

a，可得PD：AD=