Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PBC所成的角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）连接AC，则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）建立坐标系，以点A为坐标原点，

AB

，

AD

，

AP

分别为x、y、z轴正方向，
则B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
∴

DP

＝(0，?2，1)，设

DE

＝λ 

DP

＝(0，?2λ，λ)，
∴

CE

＝

CD

+

DE

＝(?1，1，0)+(0，?2λ，λ)＝(?1，1?2λ，λ)，

BC

＝(0，1，0)，

BP

＝(1，0，?1)，
设平面PBC的法向量

n

＝(x，y，z)，则

y＝0 x?z＝0

，

n

=（1，0，1），
CE与平面PBC所成的角为30⁰，
∴

CE

与平面PBC的法向量

n

=（1，0，1）成60°．
cos60°＝

1

2

＝

n ?(?1，1?2λ，λ)

| n |? 1+λ2+(1?2λ)2

，得λ=0，即点E的位置为点D，
所以存在点E，与点D重合．