Question

用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，已知θ=37°，线的长度

用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，已知θ=37°，线的长度为L=0.5m，小球的质量为m=2kg，求：（1）当锥面对小球的支持力刚好为零时，小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为多少？（2）设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，推导出FT随ω变化的关系式并定性画出FT随ω2变化的图象（sin37°=0.6，cos37°=0.8；g取10m/s2）

Answer 1

（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ＝m

ω

2 0

lsinθ
解得：ω₀=

g lcosθ

=5rad/s
（2）a．当ω₁=0时 T₁=mgcosθ=16N，标出第一个特殊点坐标（ 0，16N）；
b．当0＜ω＜5rad/s时，根据牛顿第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω ²lsinθ
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得：T=mgcosθ+mlω²sin²θ=16+

9

25

ω²
当ω₂=5rad/s时，T₂=25N，标出第二个特殊点坐标[25（rad/s）²，25N]；
c．当5rad/s≤ω时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
T₃sinβ=mω²lsinβ
故T₃=mlω²=ω²
定性画出T-ω²图象如图所示：

答：（1）当锥面对小球的支持力刚好为零时，小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为为5rad/s；
（2）拉力F_T随ω变化的关系式为：①当0＜ω＜5rad/s时，T=16+

9

25

ω²；②当5rad/s≤ω时，T₃=ω²；F_T随ω²变化的图象如图所示．