Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F，G，H分别在AB、BC、CD、AD上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F，G，H分别在AB、BC、CD、AD上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH的周长是（　　）A．5B．7C．10D．14

Answer 1

∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠HEF=180°-∠3-∠4，∠FGH=180°-∠1-∠2，
∴∠HEF=∠FGH，
又∵∠EFG=180°-（90°-∠4）-（90°-∠2）=∠2+∠4，
∠EHG=180°-（90°-∠3）-（90°-∠1）=∠1+∠2，
∴∠EFG=∠EHG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，
∴HD=BF，BE=DG，
∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，
∴△AEH∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AH

BF

，
即

AE

3?AE

=

AH

4?AH

，
整理得，

AE

AH

=

3

4

，
设AE、AH分别为3k、4k，在Rt△AEH中，EH=

AE2+AH2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

(3?3k)2+(4?4k)2

=5（1-k），
∴EF+EH=5（1-k）+5k=5，
四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×5=10．
故选C．