Question

在△ABC中，求证：（1）sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC；（2）sinA+sinB-sinC=4sinA2sinB2cosC2

在△ABC中，求证：（1）sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC；（2）sinA+sinB-sinC=4sinA2sinB2cosC2．

Answer 1

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2?c2

2ab

，
即a²+b²-c²=2ab?cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

=4sin

A

2

sin

B

2

cos

π?A?B

2

 
=4sin

A

2

sin

B

2

sin

A+B

2

=4sin

A

2

sin

B

2

（sin

A

2

cos

B

2

+cos

A

2

sin

B

2

）
=2sin2

A

2

sinB+2sinAsin2

B

2

=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．