Question

为什么微分方程分离变量后等号还成立？

Answer 1

微分方程分离变量后等号还成立的原因：
将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。操作只是方程的变化，所以等号还是成立的。
分离变量法简介：
运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。

Answer 2

要完全、完整、完美地回答楼主的问题，不是一件轻松的事情，
即使写上一部天书，也是挂一漏万。下面尝试着简单回答：

1、什么是微分方程
微分方程，就是导数方程；微分、导数的区分是汉语概念；
英文中，不存在这样的区分，都是differential equation。

微分方程的本质，是函数的变化率之间的关系relation，也
就是函数变化率之间的等式equality。

微分方程的解，不是一个具体的数字，而是一个函数。

2、微分方程的来源
不是所有的随手写出的微分方程都能解答，事实上是绝大部分
都无从解答。能解答的是少数几类，有些是能解出精确结果的
函数解，有些是近似解。

微分方程是用导数的方法，归结、归纳、划分自然现象，也就
是将自然现象归类为几种典型。微分方程有常微分方程跟偏微
分方程两种，它们属于《数学物理方法》。

3、可分离变量型微分方程
微分方程是一个等式关系，将方程移项transposition、合并
combination，等式依然成立。

分离的目的是将复杂的微分方程变成能进行简单积分的形式，
但是能分离的微分方程仅仅是极少数。

4、如何学好微分方程
简单来说，物理概念、数学概念清楚，数学运算熟练，即可学好。

但是事实上，困难很多，例如：
如果能直接看英文原版教材，原汁原味，可以避开汉译后的众多误导；
如果能不断结合物理概念思考，会事半功倍，可惜太多的数学教师完
全不具备物理基础，也不工程基础，误导无处不在。

如果思想能开明，不拘泥于教科书，尤其是我们很多教科书上渲染的
公式法之类的误导，就能突飞猛进。我们的教科书上常常会刻意误导，
经常渲染公式法，譬如通过积分因子解答的方法，他们会要你死背一
个莫名其妙的公式，然后再虚张声势多么多么重要，结果学生十有八
九是花拳绣腿；同样学多元函数微积分时，公式法是教师的最爱，也
是最禁锢学生智慧开拓的方法。

再加上汉译体系的系统性偏离，教师不懂英文而根据汉译的说文解字
肆意发挥，有很多内容早已回不到原路。
、、、、、

加油吧！
只要有心，你就能辉煌！

Answer 3

把等式两边都看成某个变量的函数，然后用积分换元法

追问

所有的微分方程都是这么理解？

追答

嗯，可以这样理解

追问

如果想把微分积分这块整明白该怎么做？