Question

拉格朗日中值定理和柯西中值定理有什么关系？？？

Answer 1

柯西中值定理中，取F(x)=x，即得拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。

Answer 2

柯西中值定理也叫Cauchy中值定理。
设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b))
则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立
编辑本段几何意义
若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。
当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

Answer 3

可以说，这二者都是微分中值定理的内容，而且柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。