Question

设函数f(x)是定义在R上的增函数，若不等式f(1-ax-x^2)＜f(2-a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围

Answer 1

由已知条件可得，对任意x∈[0,1]都有1-ax-x^2<2-a
即对任意x∈[0,1]都有x^2+ax+1-a>0
结合二次函数f(x)=x^2+ax+1-a的图像，开口向上，对称轴为x=-a/2
即当x<-a/2时，f(x)单调递减，当x>-a/2时，f(x)单调递增.
对 a的值进行分类讨论
i)当a>0时，-a/2<0，所以[0,1]为f(x)的递增区间，只需满足f(0)>0就有对任意x∈[0,1]有x^2+ax+1-a>0，所以f(0)=1-a>0，解得a<1

ii)当0≤-a/2≤1即-2≤a≤0时，要使得f(x)在[0,1]上都满足f(x)>0只需f(-a/2)>0（f(-a/2)为函数的最小值)）即(-a/2)^2+a*(-a/2)+1-a>0解得-2-2√2<a<-2＋2√2

iii)当-a/2>1即a<-2时，f(x)在[0,1]上单调递减，要使得f(x)>0，只需f(1)>0,即1^2+a*1+1-a=2>0，显然，前式对于任何的a<-2都成立

综合上述三种情况，可得0<a<1，-2≤a≤0,a<-2都满足题意，所以a的取值范围为(-∞,1)

Answer 2

已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数，如果不等式f(1-ax-x×x)<f(2-a)对于任意x[0,1]都成立，求实数a的取值范围。 因为是增函数所以不等式f(1-ax-x^2)<f(2-a)就可转化为不等式1-ax-x^2<2-a它对任意的x[0,1]都成立 1-ax-x^2<2-a整理得：x^2+ax+(1-a)>0 解此不等式得：x>(-a+根号(a^2+4a-4))/2或x<(-a-根号(a^2+4a-4))/2 所以(-a+根号(a^2+4a-4))/2<0,或(-a-根号(a^2+4a-4))/2>1 解不等式即可0<=a<1或者a<=-2