Question

是否存在常数a,b,c使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2

是否存在常数a,b,c使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](3n^2+11n+10)对一切自然数N都成立？并证明你的结论
证明：
假设存在a,b,c使得等式成立，则可以令n=1,2,3，此时得方程组：
①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70
联立①②③，解得：a=3；b=11；c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明：
1.当n=1时，成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时，等式成立，
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时，
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时，等式也成立
因此，当a=3，b=11，c=10 时，等式对一切自然数都成立。

Answer 1

0

Answer 2

o b

Answer 3

这不是明显错了吗？倒数第5行的平方呢？