Question

讨论分段函数当x不等于0时f(x)=x方×sin1/x，当x=0时f(x)=0在x=0处是否可导？

Answer 1

f(x)
=x^2 .sin(1/x) ; x≠0
=0 ; x=0

lim(x->0) f(x)
=lim(x->0) x^2.sin(1/x)
=0
=f(0)
x=0 , f(x) 连续

f'(0)
=lim(h->0) [f(h)- f(0)] /h
=lim(h->0) h.sin(1/h)
=0

追问

后面没看懂

追答

f'(0)
=lim(h->0) [f(h)- f(0)] /h
=lim(h->0) [h^2.sin(1/h) -0] /h
=lim(h->0) h.sin(1/h)
=0

追问

最后两步没懂

到底可导不？

追答

f'(0)
=0
当然可以导

追问

证明可导不是应该证明左右导数相等么？

为什么这么证？

追答

|sin(1/h)| 0 h =0
=>
lim(h->0) h.sin(1/h) =0
lim直接找到，不用在求左右导数

f'(0)=0； 当然可以导

追问

刚刚发的这个，上面那不分有点乱，没看懂，

上面那部分

？

追答

|sin(1/h)| ≤1
lim（h->0）(-h) ≤ lim（h->0） h.sin(1/h) ≤ lim（h->0）h
0≤ lim(h->0) h .sin(1/h) ≤0
=>lim(h->0) h .sin(1/h) =0

追问

完全蒙比了

追答

|g(x)| ≤ M
lim(x->0) f(x) = 0
=> lim(x->0) f(x) .g(x) =0
这是极限的基本知识！

追问

我问的那题的过程是？

追答

f'(0)
=lim(h->0) [f(h)- f(0)] /h
=lim(h->0) [h^2.sin(1/h) -0] /h
=lim(h->0) h.sin(1/h)
=0
=> f'(0) =0
x=0 ; f(x) 可导

追问

行，谢谢你