在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P,连接AP。求证:AP平分∠BAC。
(1)证明:过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN,PG⊥AC于点E、F、G,
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P,
∴PE=PF,PF=PG,
∴PE=PG,
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM;
(2)证明:∵由(1)知PA平分∠BAC的外角∠CAM,
∴∠DAE=∠CAE.
∵CE⊥AP,
∴∠AED=∠AEC=90°.
在△ADE与△ACE中,
∵
∠DAE=∠CAEAE=AE∠AED=∠AEC
,
∴△ADE≌△ACE,
∴CE=DE;
(3)当∠DAE=∠ABC时,AP∥BC.
故添加的条件可以为:∠DAE=∠ABC.
三角形的一个内角平分线与这个角的对边所在直线相交,连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形内角平分线。
由定义可知,三角形的内角平分线是一条线段。
三角形有六个外角,所以三角形有六条外角平分线。
把一个角平均分成两个角的线段或射线叫做这个角的平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点,这一点称为三角形的内心,内心到三角形三边的距离相等。
定理
三角形内角平分线的性质定理:三角形的内角平分线内分对边成两条线段,那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形内角平分线的判定定理:在Rt△ABC中,若点D按照边AB和边AC的比内分边BC,则线段AD是∠BAC的平分线。
三角形外角平分线的性质定理:三角形的外角平分线分对边成两条线段,那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。三角形外角平分线的判定定理:在Rt△ABC中,若点D按照边AB和边CD的比外分边BC,则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。