Question

二次函数f(x)=x²-2ax+2在【2，4】上的最小值为2，求a的值。

Answer 1

• f(x)=x²-2ax+2=(x-a)²+2-a² 开口向上

  对称轴x=a

  当a∈(2,4)时 区间包含对称轴 顶点2-a²为最小值=2→a=0，不合题意

  当a∈(-∞,2]时 区间在对称轴的右边，函数单调递增最小值=f(2)=6-4a=2→a=1

  当a∈[4,+∞)时 区间在对称轴的左边，函数单调递减最小值=f(4)=18-8a=2→a<4不合题意

  a=1

  
  

Answer 2

f(x)=x²-2ax+2=(x-a)²+2-a²，对称轴为x=a
第一种情况：a<2
此时[2,4]在对称轴的右侧，f(x)在[2,4]上递增，最小值为f(2)
f(2)=4-4a+2=2，解得a=1
第二种情况：2≤a≤4
此时最小值为f(a)=a²-2a²+2=2
解得a=0，因为2≤a≤4，所以不符合条件，舍去
第三种情况：a>4
此时[2,4]在对称轴的左侧，f(x)在[2,4]上递减，最小值为f(4)
f(4)=16-8a+2=2
解得a=2，因为a>4，所以不符合条件，舍去
所以，a=1

Answer 3

f(x)=x²-2ax+2=(x-a)²+(2-a²)，对称轴x=a，
定义域x∈[2,4]，对称轴x=3，
a≤2时，最小值f(2)=6-4a=2，a=1；

a≥4时，最小值f(4)=18-8x=2，a=2，不成立舍去；
2<a<4时，最小值f(a)=2-a²=2，a=0，不成立舍去。
综上，a=1

追问

请问为什么a=2和0要舍去

我明白啦

谢谢你

Answer 4

a等于1，因为在2，4是单调递增

追问

可是a=1时方程无解

追答

不是，这不是x平方减2ax加2等于零，不存在b平方减4ac这个

Answer 5

有最值，说明对称轴在【2,4】内