大一高等数学求微分方程特解
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y''-y=0的通解是y=c1e^x+c2e^(-x).
设y=(ax^2+bx)e^x是y''-y=4xe^x①的解，则
y'=(2ax+b+ax^2+bx)e^x,
y''=(2ax+2a+b+2ax+b+ax^2+bx)e^x
=[ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x,
代入①，约去e^x,得ax^2+(4a+b)x+2a+2b-（ax^2+bx）=4x,
整理得4ax+2a+2b=4x,
比较系数的4a=4,2a+2b=0,
解得a=1,b=-1
所以①的通解是y=c1e^x+c2e^(-x)+(x^2-x)e^x,
y(0)=c1+c2=0,
y'=c1e^x-c2e^(-x)+(x^2+x-1)e^x,
y'(0)=c1-c2-1=1.
解得c1=1,c2=-1.
所以所求特解是y=(x^2-x+1)e^x-e^(-x).
设y=(ax^2+bx)e^x是y''-y=4xe^x①的解，则
y'=(2ax+b+ax^2+bx)e^x,
y''=(2ax+2a+b+2ax+b+ax^2+bx)e^x
=[ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x,
代入①，约去e^x,得ax^2+(4a+b)x+2a+2b-（ax^2+bx）=4x,
整理得4ax+2a+2b=4x,
比较系数的4a=4,2a+2b=0,
解得a=1,b=-1
所以①的通解是y=c1e^x+c2e^(-x)+(x^2-x)e^x,
y(0)=c1+c2=0,
y'=c1e^x-c2e^(-x)+(x^2+x-1)e^x,
y'(0)=c1-c2-1=1.
解得c1=1,c2=-1.
所以所求特解是y=(x^2-x+1)e^x-e^(-x).
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