Question

求这道不定积分问题？

这道不定积分除了利用三角代换方法，还可以用其他办法吗？如果只能用三角代换，最后结果怎么带换回来？

Answer 1

∫1/[x^2√(x^2-1)]dx
由于x^2-1＞0 x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)
令x=secα α∈(0，π/2) ∪(π/2，π)
cosα=1/x (sinα)^2=(x^2-1)/x^2
当α∈(0，π/2)时 x＞1 sinα=√(x^2-1)/x tanα＞0
原式=∫cotα/(secα)^2d(secα)
=∫(cotα*secα*tanα)/(secα)^2dα
=∫cosαdα
=sinα+C
=√(x^2-1)/x+C
当α∈(π/2，π)时 x＜-1 sinα=-√(x^2-1)/x
tanα＜0
原式=∫-cotα/(secα)^2d(secα)
=∫(-cotα*secα*tanα)/(secα)^2dα
=-∫cosαdα
=-sinα+C
=-[-√(x^2-1)/x]+C
=√(x^2-1)/x+C
综上所述，∫1/[x^2√(x^2-1)]dx=√(x^2-1)/x+C

追答

∫1/[x^2√(x^2-1)]dx
令x=secα α∈(0，π/2)∪(π，3π/2)
cosα=1/x sinα=√(x^2-1)/x
tan＞0
∫1/[x^2√(x^2-1)]dx=∫1/[tanα*(secα)^2]dsecα
=∫1/secαdα
=∫cosαdα
=sinα+C
=√(x^2-1)/x+C

Answer 2

追问

对边和斜边怎么得出来的？

追答

根据x=sect得出的

追问

X＝sect后续有什么变化，得出对边和斜边吗？

追答

sect等于斜边比邻边，所以设斜边为x，则邻边为1，再根据勾股定理得出对边