Question

n维列向量a1到a（n-1）线性无关，且与非零向量B正交，证明a1到a（n-1），B线性无关

我想问一下a1到a（n-1）线性无关，说明这个矩阵列满秩，一个列满秩的矩阵与B正交，那就是AB=0，B不是一定为零向量吗？？？为什么题中说b是非零向量

Answer 1

假设β1可由α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性表出，记 β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n－1）由于α1，α2，α3，。。。α(n－1）与β1 正交即αi点乘β1=0（i=1，……，n-1）可推出ki=0（i=1，……，n-1）。

即β1=0与题设相矛盾，则有α1，α2，α3，……α(n－1），β1线性无关同理α1，α2，α3，。。。α(n－1），β2线性无关由于n+1个n维向量必线性相关，以及上述两个结论，可得 β1，β2线性相关。

扩展资料

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关 [2]  。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】

Answer 2

解答如上。

追问

我知道这个题怎么做，我只是想问B为什么可以是非零向量

追答

如果B是零向量，则B就与任意向量组线性相关了。事实上，你只要取B的系数是1、其他向量的系数全为零，则构成的线性组合一定等于零。

Answer 3

假设β1可由α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性表出，记 β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n－1）由于α1，α2，α3，。。。α(n－1）与β1 正交即αi点乘β1=0（i=1，……，n-1）可推出ki=0（i=1，……，n-1）即β1=0与题设相矛盾，则有α1，α2，α3，。。。α(n－1），β1线性无关同理α1，α2，α3，。。。α(n－1），β2线性无关由于n+1个n维向量必线性相关，以及上述两个结论，可得 β1，β2线性相关

Answer 4

你弄混了，是α'β＝0，A＝〔a1'〕
〔a2'〕
〔.....〕
〔an-1'〕
这个时候Aβ＝0 因为A有n列，但是他的秩等于n-1，因此肯定有非零解。

Answer 5

它行不满秩啊？秩只有n-1，怎么会满秩？

追问

请教一哈，谢谢，谢谢
定义上是说A为m*n阶矩阵，当r（A）=n时可以推出AX=0只有零解，这不就是说只要满足列满秩的情况就可以进行判定吗？还要判定行满秩序吗？？？

追答

这里的n是被你搞混淆了，当且仅当n是x所在空间的维数时你说的才成立，所以你不能说只要满秩就只有0解。
准确说，只有r(A)=n才只有0解，而不是A满秩，A满秩有0解得前提条件是A是nxn方阵