Question

已知a是正整数,如果x的方程 x3+(a+17)x2+(38-a)x-56的根都是整数,求a的值及方和的整数根

Answer 1

x³+(a+17)x²+(38-a)x-56=0
x³+ax²+17x²+38x-ax-56=0(ax²-ax)
+
(x³-x²)
+(x²+17x²-18x)
+(18x+38x-56)=0ax*(x-1)+x²(x-1)+18x(x-1)+56(x-1)=0(x-1)*(x²+ax+18x+56)=0所以:
x1=1x2+x3=-a-18x2x3=56当:x2=1时,
X3=56,
a=-75当:x2=-1时,
X3=-56,
a=39当:x2=7时,
X3=8,
a=-33当:x2=-7时,
X3=-8,
a=-3当:x2=2时,
X3=28,
a=-48当:x2=-2时,
X3=-28,
a=12当:x2=4时,
X3=14,
a=-36当:x2=-4时,
X3=-14,
a=0a是正整数所以:a的值及方程的整数根如下:a=39
X=(1,-1,-56)a=12
X=(1,-2,-28)

Answer 2

x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0,所以知方程有解x=1，设其余两根为
x1、x2，则x1+x2=-（a+18）小于-18
x1*x2=56，所以x1=-2
x2=-28所以a=12

Answer 3

首先可以判断X=1是其中一解。然后设方程为(X-1)(X-m)(X-n)=0（mn是整数）再展开，用系数相同原则求a