Question

一动圆与圆X2+Y2+6X+5=0外切，同时与X2+Y2-6X-91=0内切，求圆心轨迹方程？

Answer 1

分析：本题可以按求点的轨迹方程的一般方法来解．设动圆圆心的坐标为(x，y)，利用初中学过的两圆相切的性质和判定定理(即充要条件)列出方程，最后化简整理．
　　本题也可以从分析图形入手来寻找解题思路．设动圆的半径为R，由图8-29可知，|O
1
P|=|O
1
M|+R，|O
2
P|=|O
2
N|-R．因|O
1
P|+|O
2
P|=|O
1
M|+R+|O
2
N|-R=|O
1
M|+|O
2
N|为常数，利用椭圆的定义，可以直接求出它的方程．
　　
解：
设动圆圆心为P(x，y)，半径为R，两已知圆的圆心分别为O
1
、O
2
．
　　分别将两已知圆的方程
x
2
+y
2
+6x+5=0，
x
2
+y
2
-6x-91=0配方，得
(x+3)
2
+y
2
=4，
(x-3)
2
+y
2
=100．

　当⊙P与⊙O
1
：(x+3)
2
+y
2
=4外切时，有
|O
1
P|=R+2，　　　　①
　　当⊙P与⊙O
2
：(x-3)
2
+y
2
=100内切时，有
|O
2
P|=10-R．　　　　②
①、②两式的两边分别相加，得
|O
1
P|+|O
2
P|=12，
即2a=12点P的轨迹是焦点为(-3，0)、(3，0)的椭圆，
∴　c=3，a=6．
　　∴　b
2
=36-9=27．
　　于是得动圆圆心的轨迹方程为x2\36+y2\27=1
．