Question

设函数f(x)=|lgx|,a,b满足f(a)=f(b)=2f[(a+b)/2] 0<a<b.证明 a<4b-b^2<3

设函数f(x)=|lgx|,a,b满足f(a)=f(b)=2f[(a+b)/2] 0<a<b.证明 a<4b-b^2<3

Answer 1

证:
由
|lga|
=
|lgb|
得
lga
=
lgb
或
lga
=
-lgb
得
a
=
b
或
a
=
1/b
因为
0<a<b
则
只有
0
<
a
=
1/b
由
0
<
1/b
<
b
得
b
>
1
则
a
=
1/b
<
1
则
a
<
1
<
b
因为
b
>
1
，
所以
b²
>
1
，
所以
1/b²
∈
(0,
1)
又
2|lg[(a+b)/2]
=
|lgb|
,
b
>
1
,
a
=
1/b
则
2|lg[(1/b
+
b)/2]|
=
lgb
由基本不等式得
(1/b
+
b)/2
>
2/2
=
1
则
2lg[(1/b
+
b)/2]
=
lgb
即
[(1/b
+
b)/2]²
=
b
即
1/b²
+
2
+
b²
=
4b
则
2<
4b
-
b²
=
2
+
1/b²
<3