Question

设f(x)=丨lgX丨，且α、b为满足f(α)=f(b)=2f[(a+b)/2]，0<α<b的实数

求证:b^3=3b^2十b十1。

Answer 1

因为y=丨lgX丨,且f(a)=f(b)
则0＜a＜1＜b,a=1/b,即ab=1,得b+1/b≥2,得(a+b)/2]≥1，
由f(b)=2f[(a+b)/2]，│lgb│=2│[lg(a+b)/2]│,
lgb=2[lg(a+b)/2]则b=（a+b）^2/4
4b=（a+b）^2=(b+1/b)^2=b^2+2+1/b^2,
4b^3=b^4+2b^2+1,
b^4-4b^3+2b^2+1=0,

Answer 2

f(α)=f(b)即|lga|=|lgb|,
又0<a,b,故lga=-lgb,a=1/b,
所以a<1<b.
f(b)=2f[(a+b)/2],即lgb=2lg[(b+1/b)/2],
所以b=[(b+1/b)/2]^2=(b^2+2+1/b^2)/4,
两边都乘以4b^2,得4b^3=b^4+2b^2+1,
b^4-4b^3+2b^2+1=(b-1)(b^3-3b^2-b-1)=0,
所以b^3-3b^2-b-1=0，
所以b^3=3b^2+b+1.

追问

问一下那个4次式分解因式b一1是不是是通过观察1是它的根从而存在b一1的因式再用综合除法而得到后一个因式

追答

是。