Question

若a向量组可以由b向量组表示,b向量组不能由a向量组表示,那么a向量组的秩一定小于b向量组的秩吗？

Answer 1

一定小于b向量组的秩。

A的秩必然小于B的秩，也就是A不可能满秩，所以|A|＝0。

对于Ax=b这个方程组，不就是求用A的列向量。

换个方式写就是Ax=[a1，a2，a3]x＝x1a1+x2a2+x3a3=b。

（a1，a2，a3是A的列向量，x1，x2，x3是列向量x的三个元素）。

重要性质

向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示；但当其余向量线性无关时，这个向量必可由其余向量线性表示。