奇函数的定积分为什么是零？
奇函数定积分是零的条件是积分域关于原点对称，sin比较特别，是周期函数，积分域关于kπ对称都是零。
特点：
1、奇函数图象关于原点对称。
2、奇函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为奇函数。
3、若为奇函数，且在x=0处有意义。
4、设在定义域上可导，若在上为奇函数，则在上为偶函数即对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)。
扩展资料：
“古代几何学家，更确切地说 是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”。
其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰· 伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言。
参考资料来源：百度百科-奇函数
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2021-01-25 广告
😳问题 : 奇函数的定积分为什么是零？
👉定积分
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在
👉定积分的例子
『例子一』 ∫(0->1) x dx = (1/2)[x^2]|(0->1) =1/2
『例子二』 ∫(0->1) cosx dx = [sinx]|(0->1) = sin1
『例子三』 ∫(0->1) a dx = a[x]|(0->1) = a
👉回答
奇函数
f(-x)=-f(x)
∫(-a->a) f(x) dx
令 u=-x
du= -dx
x=-a, u=a
x=a, u=-a
代入上面转换
=∫(a->-a) f(-u) (-du)
f(x) 是奇函数 => f(-u) =-f(u)
=∫(a->-a) f(u) du
=-∫(-a->a) f(x) dx
整理方程
2∫(-a->a) f(x) dx =0
∫(-a->a) f(x) dx =0
得出
∫(-a->a) f(x) dx =0
😄: 奇函数的定积分 =0
