Question

已知函数f(x)=3^x ,当x∈[-1,1] 时，求函数y=f^2(x)-2af(x)+3的最小值g(a) 要求过程

Answer 1

-1<=x<=1
所以3^(-1)<=f(x)<=3^1
1/3<=f(x)<=3

y=(3^x)^2-2a(3^x)+3
令b=3^x
则1/3<=b<=3
y=b^2-2ab+3=(b-a)^2-a^2+3
开口向上，对称轴b=a

若a<1/3,则y在对称轴右侧，是增函数
所以b=1/3时y最小
所以g(a)=(1/3)^2-2a*(1/3)+3=28/9-2a/3

若1/3<=a<=3
则对称轴在区间内，所以b=a时y最小
所以g(a)=-a^2+3

若a>3,则y在对称轴左侧，是减函数
所以b=3时y最小
所以g(a)=3^2-2a*3+3=12-6a

综上
a<1/3,g(a)=28/9-2a/3
1/3<=a<=3,g(a)=-a^2+3
a>3,g(a)=12-6a

Answer 2

当x∈[-1,1] 时，F(X)∈[1/3，3]，令t=F(X)，则t∈[1/3，3]，则y=t^2-2at+3=(t-a)^2+3-a^2，对称轴为t=a。

这是一个定区间动轴的问题。
当轴在区间左侧，即a＜1/3时，函数的最小值在t=1/3处取到，g(a)=(1/3)^2-2a/3+3=(28-6a)/9；
当轴在区间中，即1/3≤a≤3时，函数的最小值为顶点纵坐标，g(a)=3-a^2；
当轴在区间右侧，即a＞3时，函数的最小值在t=3处取到，g(a)=3^2-6a+3=12-6a。