Question

一道数学题

设计一个商标图案（如图阴影部分），在矩形ABCD中，AB＝2BC，且AB＝8cm，以点A为圆心，AD的长为半径作半圆，则商标图案的面积等于（ A ） A．（4π＋8） B．（4π＋16） C．（3π＋8） D．（3π＋16） 要过程，谢谢。 图在：
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接梯形,AB‖CD，CD为⊙O的直径，⊙O的半径等于3，∠ACB=30°。求图中阴影部分的面积。 图：

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Answer 1

1.选A
扇形FDA的面积是4pi，三角形FBC的面积是4*12/2=24
根据三角形相似，扇形FDA内小三角形的面积是24/9=8/3
所以扇形FDA内阴影面积是4pi-8/3
右侧阴影部分三角形的面积是8*(8/3)/2=32/3
所以阴影的总面积是4pi+8

2.连结AO，BO
因为角ACB=30度
所以角AOB=60度
三角形ACB和三角形OAB同底等高，面积相等，所以阴影部分面积等于扇形OAB的面积，所以是
9pi/6=3pi/2

Answer 2

第一题楼上已经说得很明白，在这里就不再赘述了。

主要说一下第二题，其实第二题就是一道证明题。
连接BD，可知角ADB＝ACB＝30度。又因为三角形ACD是直角三角形，所以角ADC+ACD＝90度，所以角BDC+角ACD＝60度。又因为这两角相等，所以各等于30度。由此可知，等腰梯形四个角为60、60、120和120度。
连接OA和OB，得到三个等边三角形，AB＝3。
又AB所在的扇形为1/6圆面积。
三角形AOB的面积＝三角形ABC的面积，所以阴影部分面积＝1/6圆形面积
阴影部分面积为π*3^2/6=(3/2)π

Answer 3

2.三角形的面积+弓形面积

角ACB=30度 则角AOB=60度(圆周角定理)

故AB=r=3,易见三角形OD,OAB,OBC都是等边三角形,

故 S三角形ABC=r^2*Sin[60]/2,

阴影面积=S三角形ABC+弓形AB=三角形AOB+弓形AB=圆面积/6=Pi*3*3/6=4.71239

1.阴影面积=1/4圆面积+矩形面积-长三角形面积
=π(4)²/4+4*8-[(4+8)*4]/2
=4π+8

Answer 4

设计一个商标图案（如图阴影部分），在矩形ABCD中，AB＝2BC，且AB＝8cm，以点A为圆心，AD的长为半径作半圆，则商标图案的面积等于（ A ）

阴影面积＝扇形ADF+四边形ABCD－三角形FBC
＝π*4^2/4+4*8-(8+4)*4/2
＝4π+32-24
＝4π＋8
所以选A

2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接梯形,AB‖CD，CD为⊙O的直径，⊙O的半径等于3，∠ACB=30°。求图中阴影部分的面积。

∠AOD=2∠ACB=60°=∠BOC=∠AOB

因此三角形ABO为等边三角形，AB＝半径＝3
三角形ABO的面积＝三角形ABC的面积

所以阴影部分的面积＝扇形AOB的面积＝π*3^2*(60/360)=3π/2

Answer 5

1.过点A作AG//DF交CD于G，连接FG。
易证△DFG的面积＝△DFA的面积，
所以阴影部分面积＝扇形ADF的面积+△FGC的面积＝4*4*π/4+0.5*4*4＝4π＋8
2.连接OA，OB易证角AOB＝2*角ACB，△DAB的面积＝△OAB的面积
所以阴影部分的面积＝扇形OAB的面积＝ 1/6π*3*3＝1.5π

Answer 6

1、阴影面积=1/4圆面积+矩形面积-长三角形面积
=π(4)²/4+4*8-[(4+8)*4]/2
=4π+8
2、阴影面积=斜三角形面积+弓形面积
∠AOB=2∠ACB=60°，OA=OB，则△OAB是等边△。
有AB=OA=OD=3，则S△ABC=1/2(AB*R)=9/2
S扇形OAB=nπR²/360=3π/2，S△OAB=(9√3)/4
S阴影=S△ABC+S扇形OAB-S△OAB
=(18+6π-9√3)/4
扇形公式不知道对不对，忘了。